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Buen camino

Jose Salgado - Mar, 09/05/2017 - 20:41

Ahora que Pitufollow se ha lanzado a hacer el Camino De Santiago, me veo con fuerzas de hacer un flashback y recordar mi propia experiencia al recorrer esos doscientos cincuenta kilómetros que me metí entre pecho y espalda. Si, Sergio sale desde Roncesvalles pero yo no soy él y opté por algo más sencillo y empecé mi peregrinaje desde Astorga, a doscientos cincuenta kilómetros de Santiago.

Comunidad: Colaboraciones

Tags: Camino, Ruta, Viaje

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De gatos y ratones

Jose Salgado - Dom, 09/03/2017 - 13:03

Decía mi abuela, que aunaba en un cuerpo enjuto la sabiduría de una persona que pasó hambre y un ingenio producto de la necesidad y escasez de recursos, que lo importante no es si el gato es negro o gris sino que cace ratones. Con el deporte ocurre lo mismo, no es ya que tipo de deporte practiques sino que lo hagas. Todas las organizaciones, esas que parecen serias y que cuando oyes su nombre te dan ganas de ponerte firme y saludar en modo marcial, recomiendan practicar deporte.

Comunidad: Colaboraciones

Tags: Deporte, Historia

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El deporte y yo

Jose Salgado - Dom, 09/03/2017 - 13:03

Cuando me propusieron escribir sobre deportes me sorprendió un poco, he sido deportista si aceptamos la definición más laxa de la RAE, pero no he sido nadie importante, no he destacado y no he jugado en ningún equipo de renombre. Digo esto porque es importante reconocer los orígenes de cada uno.

Comunidad: Colaboraciones

Tags:

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Fedora 26 Custom Operating System post install

Fedora Nicaragua - Jue, 08/31/2017 - 17:26

En la última publicación expliqué cómo hacer una instalación mínima de Fedora 25, han pasado varios meses desde entonces y Fedora 26 ya salió, siguiendo los mismos pasos lo instalé en mi laptop y a continuación documentaré mi "post install".

Leer más… (quedan 4 minutos de lectura)

Unos que vienen y otros que van

Jose Salgado - Jue, 08/31/2017 - 07:07

Abre un e-commerce dicen, es la solución para que tu pequeña tienda pase a ser casi la competencia directa de Amazon. Claro que cuando te dicen esto no te acaban de explicar que a pesar de que el papel lo aguanta todo la realidad tiene su particular manera de complicarnos la vida.

Comunidad: Marketing

Tags: Mailing, Email, Marketing

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Una magnífica aproximación pandigital del número e

Gaussianos - Sáb, 08/26/2017 - 05:30

Hace un par de días publicaba un tuit en el que mostraba una magnífica aproximación pandigital del número e:

Este número, construido con los números del 1 al 9 usados una sola vez, coincide con el número e en más de 10^(25) decimales pic.twitter.com/PXMpSbV4ft

— gaussianos (@gaussianos) 24 de agosto de 2017

Hoy voy a explicar un poquito el porqué de esta buenísima aproximación.

Os dejo también la imagen que aparece en el tuit:

Para comenzar, podríamos intentar calcular ese número directamente para ver cómo de cerca está del número e. Yo he intentado hacerlo con Mathematica, pero las potencias tan grandes que aparecen en esa expresión hacen que se salga de la capacidad de cálculo del programa.

Acudamos a nuestro amigo WolframAlpha. Aquí sí obtenemos un resultado:

Veamos lo que dice el propio WolframAlpha sobre el número e:

Aunque es complicado de ver (a partir de la segunda línea de decimales no salen el mismo número de decimales en ambas imágenes), podéis comprobar que coinciden en todos esos decimales. Pero el tuit dice que coincide en más de 10^{25} decimales, que, evidentemente, son muchísimos más de los que aparecen aquí. ¿Cómo podríamos ver que esto es cierto?

Bien, antes de nada vamos a explicar por qué este número es tan cercano al número e. Si nos fijamos un poco, podemos ver que:

  • 3^{2^{85}}=3^{2 \cdot 2^{84}}=(3^2)^{2^{84}}=9^{2^{84}}
  • 9^{-4^{7 \cdot 6}}=\cfrac{1}{9^{4^{7 \cdot 6}}}=\cfrac{1}{9^{4^{42}}}=\cfrac{1}{9^{(2^2)^{42}}}=\cfrac{1}{9^{2^{2 \cdot 42}}}=\cfrac{1}{9^{2^{84}}}

Vaya, uno es el inverso del otro. Coloquemos esto en la expresión de la aproximación:

\left ( 1+\cfrac{1}{9^{2^{84}}} \right )^{9^{2^{84}}}

¿Os suena de algo? Seguro que sí: es (1+\frac{1}{n})^n para n=9^{2^{84}}, y ya sabemos que

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \left ( 1+\cfrac{1}{n} \right )^n=e}

Teniendo en cuenta que n=9^{2^{84}} es un número enoooooorme, es normal que esta aproximación se acerque tanto al valor del número e.

¿Pero tanto como 10^{25} decimales? Veamos. Si este número está muy cerca del número e, entonces su logaritmo neperiano estará muy cerca de 1. Aplicando logaritmo neperiano a ambos lados (y usando una de las propiedades de los logaritmos) nos quedaría lo siguiente:

9^{2^{84}} \cdot ln \left ( 1+\cfrac{1}{9^{2^{84}}} \right ) \approx 1

Si en el término de la izquierda usamos el desarrollo en serie de Taylor de orden 1 de ln(1+x) en torno al cero, obtenemos (después de algunos cálculos) lo siguiente:

9^{2^{84}} \cdot ln \left ( 1+\cfrac{1}{9^{2^{84}}} \right )=9^{2^{84}} \cdot \left ( \cfrac{1}{9^{2^{84}}}-\cfrac{1}{2c^2} \right )

Este último número, \frac{1}{2c^2}, es el error cometido, y es un número menor que \frac{1}{9^{2^{84}}}. Si calculamos el logaritmo decimal de este número, obtenemos lo siguiente (también he usado WolframAlpha):

El resultado, -1'8 \ldots \cdot 10^{25} nos indica que dicho número comienza con, como mínimo, 10^{25} ceros en su expresión decimal. Esto significa que el error, \frac{1}{2c^2}, tendrá al menos esos ceros, y todo esto nos lleva a que la diferencia entre nuestro número y el número e será tan pequeña como este error. O sea que sí, sí tiene sentido que esta magnífica aproximación coincida con el número e en, al menos, los primeros 10^{25} decimales.

Fuente: Amazing approximation to e.

Una magnífica aproximación pandigital del número e

Gaussianos - Sáb, 08/26/2017 - 05:30

Hace un par de días publicaba un tuit en el que mostraba una magnífica aproximación pandigital del número e:

Este número, construido con los números del 1 al 9 usados una sola vez, coincide con el número e en más de 10^(25) decimales pic.twitter.com/PXMpSbV4ft

— gaussianos (@gaussianos) 24 de agosto de 2017

Hoy voy a explicar un poquito el porqué de esta buenísima aproximación.

Os dejo también la imagen que aparece en el tuit:

Para comenzar, podríamos intentar calcular ese número directamente para ver cómo de cerca está del número e. Yo he intentado hacerlo con Mathematica, pero las potencias tan grandes que aparecen en esa expresión hacen que se salga de la capacidad de cálculo del programa.

Acudamos a nuestro amigo WolframAlpha. Aquí sí obtenemos un resultado:

Veamos lo que dice el propio WolframAlpha sobre el número e:

Aunque es complicado de ver (a partir de la segunda línea de decimales no salen el mismo número de decimales en ambas imágenes), podéis comprobar que coinciden en todos esos decimales. Pero el tuit dice que coincide en más de 10^{25} decimales, que, evidentemente, son muchísimos más de los que aparecen aquí. ¿Cómo podríamos ver que esto es cierto?

Bien, antes de nada vamos a explicar por qué este número es tan cercano al número e. Si nos fijamos un poco, podemos ver que:

  • 3^{2^{85}}=3^{2 \cdot 2^{84}}=(3^2)^{2^{84}}=9^{2^{84}}
  • 9^{-4^{7 \cdot 6}}=\cfrac{1}{9^{4^{7 \cdot 6}}}=\cfrac{1}{9^{4^{42}}}=\cfrac{1}{9^{(2^2)^{42}}}=\cfrac{1}{9^{2^{2 \cdot 42}}}=\cfrac{1}{9^{2^{84}}}

Vaya, uno es el inverso del otro. Coloquemos esto en la expresión de la aproximación:

\left ( 1+\cfrac{1}{9^{2^{84}}} \right )^{9^{2^{84}}}

¿Os suena de algo? Seguro que sí: es (1+\frac{1}{n})^n para n=9^{2^{84}}, y ya sabemos que

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \left ( 1+\cfrac{1}{n} \right )^n=e}

Teniendo en cuenta que n=9^{2^{84}} es un número enoooooorme, es normal que esta aproximación se acerque tanto al valor del número e.

¿Pero tanto como 10^{25} decimales? Veamos. Si este número está muy cerca del número e, entonces su logaritmo neperiano estará muy cerca de 1. Aplicando logaritmo neperiano a ambos lados (y usando una de las propiedades de los logaritmos) nos quedaría lo siguiente:

9^{2^{84}} \cdot ln \left ( 1+\cfrac{1}{9^{2^{84}}} \right ) \approx 1

Si en el término de la izquierda usamos el desarrollo en serie de Taylor de orden 1 de ln(1+x) en torno al cero, obtenemos (después de algunos cálculos) lo siguiente:

9^{2^{84}} \cdot ln \left ( 1+\cfrac{1}{9^{2^{84}}} \right )=9^{2^{84}} \cdot \left ( \cfrac{1}{9^{2^{84}}}-\cfrac{1}{2c^2} \right )

Este último número, \frac{1}{2c^2}, es el error cometido, y es un número menor que \frac{1}{9^{2^{84}}}. Si calculamos el logaritmo decimal de este número, obtenemos lo siguiente (también he usado WolframAlpha):

El resultado, -1'8 \ldots \cdot 10^{25} nos indica que dicho número comienza con, como mínimo, 10^{25} ceros en su expresión decimal. Esto significa que el error, \frac{1}{2c^2}, tendrá al menos esos ceros, y todo esto nos lleva a que la diferencia entre nuestro número y el número e será tan pequeña como este error. O sea que sí, sí tiene sentido que esta magnífica aproximación coincida con el número e en, al menos, los primeros 10^{25} decimales.

Fuente: Amazing approximation to e.

Fedora Women Day

Fedora Nicaragua - Vie, 08/25/2017 - 12:18

Es un día de celebración dedicado a las mujeres que contribuyen en el Proyecto Fedora.

FWD es una gran oportunidad para promover la participación de más mujeres, reunir a contribuyentes y crear conciencia sobre la brecha de género en las comunidades de tecnología. Este día se celebra en toda la comunidad para mostrar la importancia de que las mujeres participen en proyectos de código abierto, como Fedora.

Fedora Women Day se celebra en el aniversario del equipo de Fedora Women.

Vamos a contar con 7 charlas, al final del evento comeremos pizza mientras intercambiamos opiniones con los asistentes de que podemos hacer para que más mujeres se involucren en el proyecto y tendremos una dulce sorpresa 😉

Horario:

Hora Name Topic 2:00pm- 2:30pm Cristhian Vannessa G. Qué es Fedora y como colaborar 2:30pm- 3:00pm Aura Lila Gutiérrez Qué significa diversidad e inclusión para Fedora 3:00pm- 3:30pm Blanca Ayala Luquez Sistema de video vigilancia IP con ZoneMinder 3:30pm- 4:00pm Ninoska Rodríguez Mi mundo después de Fedora 4:00pm- 4:30pm Maribel Fonseca Pendiente 4:30pm- 5:00pm Linda Isabel Martínez Fedora y la educación en Nicaragua 5:00pm- 5:30pm Naima Fernández Robotica educativa con Icaro. 5:30pm- 6:00pm Open Floor Qué podemos hacer para que mas mujeres se involucren en el proyecto Fedora, Foto de grupo y pizza

¿Para que sirve ó funciona AirTM y que beneficios ofrece ?

E-ais - Jue, 08/24/2017 - 09:15
Al ingresar a www.AirTM.com con tu usuario  (si no estas registrado aun registrate  pinchando aqui ) vas a poder ver las 3 principales operaciones que puedes hacer Si aun no estas registrado puedes hacerlo aquí >>> AirTM aqui 1) DEPOSITAR: Esta es la opción donde puedes comprar o pasar tu $ para tenerlos en tu cuenta de AirTM, puedes pagarlos con Transferencias bancarias con moneda local , e-aisnoreply@blogger.com0

AirTM Dinero en la nube donde lo desee. Efectivo en su Mano cuando lo necesite

E-ais - Jue, 08/24/2017 - 07:53
Air TM Proyecto basado en el Internetfundado por  Ruben Galindo Steckel y Antonio Garcia, ambos de la ciudad de México,el cual funciona para el intermbio de divisas, ó exchanger desde la nube en casi todos los paises del mundo, incluso Venezuela, Argentina ,México..                                            Es decir puedes cambiar saldo de Bolivares a Dolares y este pasarlo a paypal. tienes e-aisnoreply@blogger.com0

Getting started with AWS Certificate Manager (and Route53)

Tony de la Fuente - Mar, 08/22/2017 - 06:36
…with your own domain not hosted in Amazon Route 53 and a wild card certificate. A main premise I follow when it comes to deploying or architecting any service in the cloud, whatever vendor I use, is full encryption between layers and intent to add elasticity on each service (adding them to what AWS calls […]

Servidor LAMP en Fedora 26

Blog 1 - Lun, 08/14/2017 - 14:30
Configurar un servidor LAMP en Fedora es una tarea bastante sencilla. A continuación describo cómo hacerlo. Instalamos el servidor web(apache httpd) la forma más sencilla(todos estos comandos como root) dnf groupinstall "Web Server" **si muestra algún error de versiones (workstation, nonproduct) usar: dnf groupinstall "Web Server" --skip-broken Después el servidor mariadb(mysql) dnf Vanhttp://www.blogger.com/profile/04797995971024335249noreply@blogger.com30

Error de JSON malformed al enviar datos a Zoho

Skatox - Lun, 08/14/2017 - 07:40

Zoho es una excelente herramienta en la nube para la administración de negocios. Posee una excelente API REST para realizar integración de datos entre sistemas. Hace unos días tuve problemas para subir información al API y me arrojaba el error JSON malformed.

Cómo solucionar el error de JSON malformed

La documentación no indica cual puede ser el problema y en que campo. Obviamente es un error de codificación de JSON pero al revisar mi código y los datos que estaba enviando, noté que el JSON estaba bien validado. Pero me di cuenta que Zoho pide enviar el JSON dentro del cuerpo de la petición en texto plano, no en formato JSON. Por ello, al codificar los campos en la cadena, el símbolo de ampersand ( & ) puede confundirse como el inicio de un parámetro GET. Así que es necesario codificarlo con su respectivo valor en HTML que es %26.

Así que para solucionar mi problema tuve simplemente que reemplazar el valor luego de ser codificado en JSON:

$jsonString = str_replace('&', '%26', json_encode($invoice));
$body = '&JSONString=' . $jsonString;

¡Listo! Ahora si podrás subir la data a Zoho.

La entrada Error de JSON malformed al enviar datos a Zoho aparece primero en El blog de Skatox.

Ha fallecido Landon Clay, fundador del Instituto Clay de Matemáticas

Gaussianos - Mar, 08/08/2017 - 05:00

Landon Clay, el fundador del Instituto Clay de Matemáticas, falleció el pasado 29 de julio. Con su fallecimiento, las matemáticas actuales pierden a una persona que ha apoyado enormemente el desarrollo y el avance las matemáticas a nivel mundial.

Landon Clay con Maryam Mirzakhani

Landon Thomas Clay, nacido en el año 1926, no tuvo formación académica de matemáticas. Se licenció en Inglés en Harvard. Su relación con las matemáticas, por tanto, no venía directamente de su formación, sino de su idea de que las matemáticas eran, además de bellas, muy importantes para nuestras vidas. Por ello, quiso aportar su granito de arena y contribuir así al desarrollo del conocimiento humano.

Landon T. CLayEllo le llevó a fundar el Instituto Clay de Matemáticas, conocido mundialmente por plantear los famosísimos siete problemas del milenio. Mucho se ha escrito en internet sobre ellos (y sobre el premio de un millón de dólares para quien sea capaz de resolver alguno de los mismos), por lo que simplemente los voy a citar (enlazando lo que escribí hace más de diez años sobre el único que se ha resuelto hasta ahora, la conjetura de Poincaré):

  • P vs NP
  • La conjetura de Hodge
  • La conjetura de Poincaré
  • La hipótesis de Riemann
  • Existencia de Yang-Mills y del salto de masa
  • Las ecuaciones de Navier-Stokes
  • La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Fallece, por tanto, uno de los mayores benefactores de las matemáticas mundiales, tanto en lo que se refiere al tema económico como a lo que se refiere al apoyo a esta ciencia por su belleza y su importancia para todos nosotros. Una gran pérdida para las matemáticas. Esperemos que todos sigamos disfrutando de su legado.

Me enteré de la noticia por esta nota en The Aperiodical. Podéis encontrar más información en los siguientes enlaces:

La imagen principal, donde Landon Clay aparece con Maryam mirzakhani (primera mujer Medalla Fields fallecida el pasado 15 de julio), la he tomado de aquí. La segunda, en la que aparece solo Landon Clay, la he tomado de aquí.

Ha fallecido Landon Clay, fundador del Instituto Clay de Matemáticas

Gaussianos - Mar, 08/08/2017 - 05:00

Landon Clay, el fundador del Instituto Clay de Matemáticas, falleció el pasado 29 de julio. Con su fallecimiento, las matemáticas actuales pierden a una persona que ha apoyado enormemente el desarrollo y el avance las matemáticas a nivel mundial.

Landon Clay con Maryam Mirzakhani

Landon Thomas Clay, nacido en el año 1926, no tuvo formación académica de matemáticas. Se licenció en Inglés en Harvard. Su relación con las matemáticas, por tanto, no venía directamente de su formación, sino de su idea de que las matemáticas eran, además de bellas, muy importantes para nuestras vidas. Por ello, quiso aportar su granito de arena y contribuir así al desarrollo del conocimiento humano.

Landon T. CLayEllo le llevó a fundar el Instituto Clay de Matemáticas, conocido mundialmente por plantear los famosísimos siete problemas del milenio. Mucho se ha escrito en internet sobre ellos (y sobre el premio de un millón de dólares para quien sea capaz de resolver alguno de los mismos), por lo que simplemente los voy a citar (enlazando lo que escribí hace más de diez años sobre el único que se ha resuelto hasta ahora, la conjetura de Poincaré):

  • P vs NP
  • La conjetura de Hodge
  • La conjetura de Poincaré
  • La hipótesis de Riemann
  • Existencia de Yang-Mills y del salto de masa
  • Las ecuaciones de Navier-Stokes
  • La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Fallece, por tanto, uno de los mayores benefactores de las matemáticas mundiales, tanto en lo que se refiere al tema económico como a lo que se refiere al apoyo a esta ciencia por su belleza y su importancia para todos nosotros. Una gran pérdida para las matemáticas. Esperemos que todos sigamos disfrutando de su legado.

Me enteré de la noticia por esta nota en The Aperiodical. Podéis encontrar más información en los siguientes enlaces:

La imagen principal, donde Landon Clay aparece con Maryam mirzakhani (primera mujer Medalla Fields fallecida el pasado 15 de julio), la he tomado de aquí. La segunda, en la que aparece solo Landon Clay, la he tomado de aquí.

Carga los productos de una orden en WooCommerce

Skatox - Dom, 08/06/2017 - 07:42

WooCommerce es una excelente solución para crear tu propia tienda en línea. Al ser un plugin de WordPress permite aprovechar todo lo disponible para esta tecnología. Cada nueva versión incluye mejoras significantes pero sacrificando muchas veces compatibilidad hacia atrás. Hace unos meses salió la versión 3.0 que introdujo varias mejoras y cambios en el SDK. Uno de mis plugines estuvo funcionando mal con los productos variables, pues la forma de obtener los productos de una orden habían cambiado. A continuación te explico como carga los productos de una orden.

Carga de productos de una orden

El problema es que en WooCoommerce existen varios tipos de productos: simple, variable, virtual, etc. Cada uno de ellos es definido en su propia clase, entonces cuando cargas una orden en WooCommerce desde el SDK solo tienes acceso al ID. Luego poder detectar con ese ID el tipo de producto y cargar su respectivo objeto puede ser tedioso.

El primer paso es obtener los objetos que representan los productos de la orden. No se debe confundir con el producto como tal, pues estos tienen un precio y atributos únicos para la orden.  Luego de cargar estos productos, si procedemos a cargar la instancia de su respectiva clase que nos dará toda la información.

WooCommerce nos ofrece la función get_product() que dando un ID, se carga automáticamente el producto como un objeto de su respectiva clase. Permitiendo acceder y manipular la data de muchas formas.

$order = wc_get_order( $order_id );
$line_items = $original_order->get_items();

foreach ( $line_items as $item_id => $item ) {
  $wc_product = $item->get_product();
  ....
}

Y listo, ya con esto puedes obtener un objeto que representa al producto de un orden.

La entrada Carga los productos de una orden en WooCommerce aparece primero en El blog de Skatox.

Puntos primitivos (y un EXTRA)

Gaussianos - Vie, 08/04/2017 - 05:00

El problema de esta semana es el último problema de la pasada Olimpiada Internacional de Matemáticas, celebrada en Río de Janeiro el pasado mes de julio. Ahí va:

Un par ordenado (x,y) de enteros es un punto primitivo si el máximo común divisor de x e y es 1.

Dado un conjunto finito S de puntos primitivos, demostrar que existen un entero positivo n y enteros a_0,a_1, \ldots, a_n tales que, para cada (x,y) \in S, se cumple que:

a_ox^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+ \ldots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1

A por él.

Extra:

El otro día compartí en la página de Facebook de Gaussianos un post en el que hablan sobre los entresijos de la Olimpiada Internacional de Matemáticas. Os recomiendo que le echéis un vistazo, es interesante: Más detalles de la Olimpiada Internacional de Matemáticas.

Puntos primitivos (y un EXTRA)

Gaussianos - Vie, 08/04/2017 - 05:00

El problema de esta semana es el último problema de la pasada Olimpiada Internacional de Matemáticas, celebrada en Río de Janeiro el pasado mes de julio. Ahí va:

Un par ordenado (x,y) de enteros es un punto primitivo si el máximo común divisor de x e y es 1.

Dado un conjunto finito S de puntos primitivos, demostrar que existen un entero positivo n y enteros a_0,a_1, \ldots, a_n tales que, para cada (x,y) \in S, se cumple que:

a_ox^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+ \ldots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1

A por él.

Extra:

El otro día compartí en la página de Facebook de Gaussianos un post en el que hablan sobre los entresijos de la Olimpiada Internacional de Matemáticas. Os recomiendo que le echéis un vistazo, es interesante: Más detalles de la Olimpiada Internacional de Matemáticas.

La raíz de un entero (no cuadrado) es irracional

Gaussianos - Jue, 08/03/2017 - 11:30

En Gaussianos hemos visto ya unas cuantas demostraciones de la irracionalidad de algunos números reales. Entre ellas, podemos destacar la irracionalidad de Pi (y II) y la irracionalidad de e (y II), pero posiblemente sea la irracionalidad de raíz de 2 la que más se ha visto por aquí.

Sobre ella podéis encontrar varios artículos en el blog. Os dejo algunos enlaces:

y uno más general sobre la irracionalidad de \sqrt[n]{2}:

Hoy vamos a ver una demostración elemental (en el sentido de los conocimientos que utiliza) de que \sqrt{m} es irracional, siempre que m no sea un cuadrado perfecto. Vamos con ella:

Teorema: Si m no es un cuadrado perfecto, entonces \sqrt{m} es un número irracional.

Demostración:

Como m no es un cuadrado perfecto, entonces \sqrt{m} no es un número entero, por lo que sea racional (no entero) o irracional. Esto significa que podemos encontrar un número entero n tal que \sqrt{m} se encuentra entre n y n+1:

n < \sqrt{m} < n+1

Lo que vamos a demostrar es que a=\sqrt{m}-n es irracional (lo que, sabiendo que n es un número entero, implicaría que \sqrt{m} también es irracional).

Supongamos que a no es irracional. Por su propia definición, se tiene que 0 < a < 1, por lo que, si no es irracional, será de la forma

a=\cfrac{p}{q}

siendo 0 < p < q. Podemos asumir sin ningún problema que q es lo más pequeño posible. Si tomamos la fracción inversa y operamos un poco obtenemos lo siguiente:

\cfrac{q}{p}=\cfrac{1}{a}=\cfrac{1}{\sqrt{m}-n}=

Multiplicamos ahora numerador y denominador por el conjugado del denominador actual, \sqrt{m}+n, y seguimos operando:

=\cfrac{\sqrt{m}+n}{\sqrt{m}+n} \cdot \cfrac{1}{\sqrt{m}-n}=\cfrac{\sqrt{m}+n}{m-n^2}=\cfrac{a+2n}{m-n^2}

Hemos llegado a la siguiente igualdad:

\cfrac{q}{p}=\cfrac{a+2n}{m-n^2}

Ahora despejamos a:

a=\cfrac{q \cdot (m-n^2)}{p}-2n=\cfrac{q \cdot (m-n^2)-2np}{p}=\cfrac{k}{p}

Acabamos de obtener que a se puede expresar mediante una fracción cuyo denominador, p, es más pequeño que el denominador anterior, q (por definición, p era menor que q). Pero eso es imposible, ya que habíamos supuesto que q era el menor denominador posible.

Esta contradicción proviene del hecho de suponer que a=\sqrt{m}-n es un número racional. En consecuencia, a es irracional, lo que implica que \sqrt{m} también es un número irracional.

Creo que es la primera demostración de este hecho que publico en Gaussianos, salvo las cuestiones sobre ello que se hayan tratado en los comentarios de alguna entrada. Si encontráis algo sobre ello en alguna entrada o comentario de este blog os agradecería que nos lo comunicarais en los comentarios.

Demostración de Harley Flanders a partir de una demostración de Theodor Estermann. Vía Fermat’s Library.

imagen tomada de aquí.

La raíz de un entero (no cuadrado) es irracional

Gaussianos - Jue, 08/03/2017 - 11:30

En Gaussianos hemos visto ya unas cuantas demostraciones de la irracionalidad de algunos números reales. Entre ellas, podemos destacar la irracionalidad de Pi (y II) y la irracionalidad de e (y II), pero posiblemente sea la irracionalidad de raíz de 2 la que más se ha visto por aquí.

Sobre ella podéis encontrar varios artículos en el blog. Os dejo algunos enlaces:

y uno más general sobre la irracionalidad de \sqrt[n]{2}:

Hoy vamos a ver una demostración elemental (en el sentido de los conocimientos que utiliza) de que \sqrt{m} es irracional, siempre que m no sea un cuadrado perfecto. Vamos con ella:

Teorema: Si m no es un cuadrado perfecto, entonces \sqrt{m} es un número irracional.

Demostración:

Como m no es un cuadrado perfecto, entonces \sqrt{m} no es un número entero, por lo que sea racional (no entero) o irracional. Esto significa que podemos encontrar un número entero n tal que \sqrt{m} se encuentra entre n y n+1:

n < \sqrt{m} < n+1

Lo que vamos a demostrar es que a=\sqrt{m}-n es irracional (lo que, sabiendo que n es un número entero, implicaría que \sqrt{m} también es irracional).

Supongamos que a no es irracional. Por su propia definición, se tiene que 0 < a < 1, por lo que, si no es irracional, será de la forma

a=\cfrac{p}{q}

siendo 0 < p < q. Podemos asumir sin ningún problema que q es lo más pequeño posible. Si tomamos la fracción inversa y operamos un poco obtenemos lo siguiente:

\cfrac{q}{p}=\cfrac{1}{a}=\cfrac{1}{\sqrt{m}-n}=

Multiplicamos ahora numerador y denominador por el conjugado del denominador actual, \sqrt{m}+n, y seguimos operando:

=\cfrac{\sqrt{m}+n}{\sqrt{m}+n} \cdot \cfrac{1}{\sqrt{m}-n}=\cfrac{\sqrt{m}+n}{m-n^2}=\cfrac{a+2n}{m-n^2}

Hemos llegado a la siguiente igualdad:

\cfrac{q}{p}=\cfrac{a+2n}{m-n^2}

Ahora despejamos a:

a=\cfrac{q \cdot (m-n^2)}{p}-2n=\cfrac{q \cdot (m-n^2)-2np}{p}=\cfrac{k}{p}

Acabamos de obtener que a se puede expresar mediante una fracción cuyo denominador, p, es más pequeño que el denominador anterior, q (por definición, p era menor que q). Pero eso es imposible, ya que habíamos supuesto que q era el menor denominador posible.

Esta contradicción proviene del hecho de suponer que a=\sqrt{m}-n es un número racional. En consecuencia, a es irracional, lo que implica que \sqrt{m} también es un número irracional.

Creo que es la primera demostración de este hecho que publico en Gaussianos, salvo las cuestiones sobre ello que se hayan tratado en los comentarios de alguna entrada. Si encontráis algo sobre ello en alguna entrada o comentario de este blog os agradecería que nos lo comunicarais en los comentarios.

Demostración de Harley Flanders a partir de una demostración de Theodor Estermann. Vía Fermat’s Library.

imagen tomada de aquí.

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