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Actualizado: hace 8 horas 13 mins

Segmento desconocido en un triángulo

Jue, 06/22/2017 - 11:05

Hoy os vuelvo a traer un problema. Ahí va el enunciado:

En un triángulo acutángulo ABC tenemos que AH, AD y AM son, respectivamente, la altura, la bisectriz y la mediana que parten desde A, estando H, D y M en el lado BC. Si las longitudes de AB, AC y MD son, respectivamente, 11, 8 y 1, calcula la longitud del segmento DH.

Este problema fue uno de los que salió en el práctico de matemáticas de las Oposiciones a Secundaria de 2015 en Castilla-La Mancha. A mí no me dio tiempo ni siquiera a intentarlo (me entretuve demasiado en los otros dos), pero hoy me he acordado de él y, tras un rato pensando, lo he dejado (no tengo demasiado tiempo ahora). El caso es que he visto por ahí una solución y me parece ridículamente larga y farragosa para un problema planteado en una oposición. A ver si por aquí conseguimos una solución más elegante.

Clara Grima, Premio COSCE a la Difusión de la Ciencia 2017

Vie, 06/16/2017 - 06:23

Hoy estamos de enhorabuena, ya que en el día de ayer se dio a conocer que nuestra querida y admirada Clara Grima ha sido galardonada con el Premio COSCE a la Difusión de la Ciencia 2017. Este premio, el más importante de España en lo que a divulgación científica se refiere, lo entrega la Confederación de Sociedades Científicas de España (COSCE) y “reconoce una labor continuada y efectiva de difusión de la ciencia”.

Y Clara Grima es, de la gente que yo conozco en este mundillo, la persona que más lo merece. Ha escrito blogs de matemáticas y ha ganado premios con ellos, el Premio Bitácoras al Mejor Blog de Educación 2011 y el Premio 20Blogs al Mejor Blog en 2012; colabora habitualmente con artículos de divulgación matemática en varios medios de comunicación, como eldiario.es, JotDown y CienciaXplora; participó en las dos primeras temporadas en el programa de televisión Órbita Laika, dedicado a la divulgación científica; ha dado charlas de divulgación matemática para todas las edades en multitud de puntos de nuestra geografía; es de admirar su implicación a la hora de difundir el trabajo de matemáticos y matemáticas entre los jóvenes; participa en obras de teatro relacionadas con la divulgación científica; y seguro que hace muchas más cosas que ahora se me olvidan.

Sirva esta pequeña entrada para felicitar con todas mis ganas a esta gran matemática, gran divulgadora y gran persona. Clara Grima, te mereces este premio más que nadie, y mucho han tardado en concedértelo. Mi más sincera enhorabuena.

Más información:

Imagen tomada de aquí.

Pedro Daniel Pajares, ganador de Famelab España 2017

Lun, 05/29/2017 - 05:30

Pedro Daniel Pajares, estudiante de Matemáticas de la Universidad de Extremadura, ha sido el ganador del FameLab España 2017 con su monólogo Una bola peluda para atraerlos a todos.

FameLab es una iniciativa internacional cuyo objetivo es fomentar la divulgación científica a través de monólogos que traten algún tema relacionado con la ciencia. Comenzó en 2005 en el Cheltenham Science Festival y desde 2007 se celebra en varios países de Europa, Asia y África y en Estados Unidos. En cada uno de ellos se realiza primero una preselección entre los trabajos recibidos y después se elige un ganador entre todos ellos, que es quien representa a dicho país en la fase internacional.

La fase española comenzó a celebrarse en 2013, y el ganador fue otro matemático, Eduardo Sáenz de Cabezón, con el monólogo Un teorema es para siempre. Este año, el ganador vuelve a ser matemático, y representará a España en la fase internacional en el Festival de Cheltenham.

El monólogo con el que Daniel ha ganado trata del teorema de la bola peluda, que básicamente dice que no podemos peinar totalmente una esfera peluda. En el enlace anterior podéis ver una descripción algo más detallada de este teorema, y aquí podéis ver una demostración del mismo desarrollada por John Milnor. También os dejo un enlace en el que comentaba algo que también se comenta en el monólogo: un dónut sí se puede peinar.

Para finalizar, como no podía ser de otra forma, os dejo un vídeo del monólogo de Daniel. Disfrutad:

Si conocéis más monólogos de matemáticas que hayan participado este año (no he tenido tiempo de indagar entre el resto de participantes) o monólogos de matemáticas que, aunque no hayan participado aquí, sean dignos de mención, os agradecería que nos hablarais de ellos en los comentarios.

Más información:

“Curvas que separan: fácil de entender, difícil de demostrar”, nuevo artículo en “El Aleph” (y algunos más)

Jue, 05/25/2017 - 14:49

Ayer miércoles, 24 de mayo, publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País, en el que hablo sobre el teorema de la curva de Jordan.

Curvas que separan: fácil de entender, difícil de demostrar

En lo que se refiere a enunciados y demostraciones, el mundo de los teoremas matemáticos es de lo más variado. Los hay con enunciados cortitos y enunciados largos, y los podemos encontrar con formulaciones muy claras y sencillas de explicar y con formulaciones bastante complejas. Y en lo que se refiere a las demostraciones, hay de todo: bellas, farragosas, cortitas, insufriblemente largas, geométricas, analíticas…Lo que decíamos, de todo.

El caso es que en matemáticas todo resultado propuesto se tiene que demostrar para que se considere correcto. Pero es cierto que algunos teoremas son tan claros e intuitivos que parece que no necesitan demostración para afirmar su veracidad. Hoy vamos a hablar de, posiblemente, el caso más claro y representativo de este tipo de resultados: el teorema de la curva de Jordan. El enunciado de este teorema es de lo más simple, intuitivo y sencillo de explicar y comprender, pero, por contra, las demostraciones que se conocen de él son largas, complejas y técnicas o necesitan de utilizar alguna teoría muy avanzada.

Y añado los enlaces a artículos anteriores que no he publicado aquí en Gaussianos:

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

Esta entrada participa en la Edición 8.4 del Carnaval de Matemáticas, que organiza el blog Matemáticas cercanas.

“Fermat, Pascal y los inicios de la probabilidad moderna”, nuevo artículo en “El Aleph”

Jue, 04/27/2017 - 06:15

Ayer miércoles, 16 de abril publiqué, un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País. En él hablo sobre los inicios de la probabilidad moderna.

Fermat, Pascal y los inicios de la probabilidad moderna

Desde el porcentaje de que llueva o nieve un día concreto en una zona determinada hasta la idoneidad de apostar o no según la mano de póker que llevemos, pasando por las cuotas a favor o en contra de la victoria de un cierto equipo y muchos otros fenómenos físicos o económicos. Gran parte de los datos que nos encontramos a diario en muchos ámbitos están basados en el cálculo de probabilidades.

En 1933, Andréi Kolmogórov establecía la que se conoce como concepción axiomática de probabilidad, dando rigor de esta forma a muchos de los estudios que se habían realizado con anterioridad en esta rama y comenzando así el estudio moderno de la teoría de probabilidades. Pero el estudio de la probabilidad comenzó mucho antes, y se puede decir que los precursores de esta teoría fueron Pierre de Fermat y Blaise Pascal.

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

Esta entrada participa en la Edición 8.3 del Carnaval de Matemáticas, que organiza el blog Semillas.

Número de valores distintos

Mar, 04/25/2017 - 04:23

A continuación, os propongo el problema de esta semana. Ahí va:

Para n \in \{1,2,3, \ldots ,100 \}, calcula cuántos valores distintos toma la expresión

\cfrac{n^2-2}{n^2-n+2}

No pongo todavía de dónde lo he sacado para que todo el que quiera pueda intentarlo. Si sabéis de dónde proviene, os agradecería que no dijerais nada. Muchas gracias.

“El número e y la prueba del Carbono 14”, artículo de la semana pasada en “El Aleph”

Lun, 04/24/2017 - 12:29

El pasado miércoles 19 de abril publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País. En él hablo sobre la relación entre el número e y la prueba del Carbono 14.

El número e y la prueba del Carbono 14

El número Pi, por todos conocido, aparece en multitud de fórmulas e igualdades, como la identidad de Euler, y está relacionado con una buena cantidad de situaciones reales (por ejemplo, aparece en el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes de muchas figuras). Pero no es el único número curioso que aparece de manera recurrente relacionado con fenómenos de nuestro día a día.

Otro caso parecido al de Pi es el del número e (que, por cierto, también aparece en la identidad de Euler). Aunque las formas que conocemos para definirlo pueden parecer extrañas, la realidad es que aparece en muchas situaciones conocidas por todos, por lo que su utilidad práctica queda fuera de toda duda. Hoy vamos a hablar de una de ellas: la prueba del carbono 14, o datación por radiocarbono, que fue desarrollada por Willard Libby a finales de los años 40 del siglo pasado.

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

Esta entrada participa en la Edición 8.3 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza el blog Semillas.

Suma de potencias cuartas

Mar, 04/18/2017 - 03:00

Vuelven los problemas a Gaussianos. En esta ocasión volvemos con un problema que vi hace unos días en Microsiervos. Ahí va:

Sabiendo que

\begin{matrix} x+y+z=1 \\ x^2+y^2+z^2=2 \\ x^3+y^3+z^3=3 \end{matrix}

calcula el valor de x^4+y^4+z^4.

No es difícil, pero que está bien para comenzar de nuevo a publicar problemas propuestos.

Por cierto, en las respuestas espero un desarrollo de cómo habéis llegado a la solución, no solamente la solución.

Y si quieres intentar el problema, te recomiendo que no mires los comentarios antes de hacerlo, por si ya hay alguien que lo ha resuelto y ello te quita la diversión de enfrentarse al mismo.

“Las matemáticas de la fecha del Domingo de Resurrección”, nuevo artículo en “El Aleph”

Dom, 04/16/2017 - 15:15

El pasado jueves 13 de abril (fue en jueves de manera excepcional, normalmente publico los miércoles) publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País. En él hablo sobre el cálculo de la fecha del Domingo de Resurrección.

Las matemáticas de la fecha del Domingo de Resurrección

Estamos en plena Semana Santa, época importante para los católicos en las que las procesiones son las grandes protagonistas. En esta semana, son varias las fechas señaladas para los creyentes: Domingo de Ramos, Jueves Santo, Viernes Santo o Domingo de Resurrección.

La Semana Santa suele celebrarse en alguna semana de marzo o abril, pero no todos los años cae en las mismas fechas. ¿Cómo se elige la semana de celebración? Si alguna vez pensaste que se hacía de manera aleatoria o a dedo, te diré que estás equivocado: la elección de la semana de Semana Santa se hace con matemáticas. Y hoy vamos a explicar cómo se hace dicha elección mediante el cálculo de la fecha del Domingo de Resurrección.

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

“Lord Kelvin, Pekín 2008 y un monólogo de humor”, nuevo artículo en “El Aleph”

Vie, 04/07/2017 - 06:30

El pasado miércoles 5 de abril publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País. En él hablo sobre el problema de rellenar el plano con polígonos y el espacio tridimensional con poliedros.

Lord Kelvin, Pekín 2008 y un monólogo de humor

Las abejas tienen habilidades matemáticas. Esto ya lo destacó Pappus de Alejandría en el siglo IV cuando analizó la forma en la que estos insectos construyen sus panales.

Además de por construir las celdas con un ángulo final óptimo, la forma hexagonal de las celdas no parece ser ni mucho menos casual, ya que el hexágono regular es el polígono que, a igual área, tiene menor perímetro, por lo que es el mejor para rellenar, o teselar, un plano con polígonos (es decir, para construir panales óptimos). Fue precisamente Pappus quien conjeturó este resultado, pero no lo demostró.

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

“Una igualdad rebosante de belleza”, nuevo artículo en “El Aleph”

Sáb, 04/01/2017 - 13:30

El pasado miércoles 29 de marzo publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País. En él hablo sobre la identidad de Euler.

Una igualdad rebosante de belleza

Al igual que en otras disciplinas, como la literatura, el arte o la música, dentro de las matemáticas también podemos encontrar belleza, mucha belleza. La geometría es, posiblemente, una de las ramas donde se pueden encontrar resultados más bellos (como, por ejemplo, el de la circunferencia de Feuerbach), pero también podemos encontrar bellezas matemáticas jugando con números (los cuadrados mágicos habituales y los menos habituales son buenos ejemplos de ello).

Pero estoy convencido de que la igualdad que os traigo hoy es, para muchos, el culmen de la belleza matemática. Me refiero, cómo no, a la identidad de Euler:

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

“No solo de números consecutivos vive el cuadrado mágico”, nuevo artículo en “El Aleph”

Sáb, 03/25/2017 - 11:00

Estya semana, concretamente el miércoles 22 de marzo, publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País. En él hablo sobre cuadrados mágicos que se salen de la definición habitual.

No solo de números consecutivos vive el cuadrado mágico

En el artículo de la semana pasada hablábamos sobre cuadrados mágicos. En aquella ocasión, nos centramos en los cuadrados mágicos que contienen números consecutivos desde 1 en adelante (hasta n^2 si el cuadrado tiene n filas y n columnas), pero comentábamos que había muchos otros tipos. El mundo de los cuadrados mágicos es mucho más variado, y hoy vamos a ver unos cuantos ejemplos de esta variedad.

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

Esta entrada participa en la Edición 8.2 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza nuestro amigo Rafalillo.

Yves Meyer, premio Abel 2017

Mar, 03/21/2017 - 07:32

El matemático francés Yves Meyer ha sido galardonado con el premio Abel 2017 por la Norwegian Academy of Science and Letters “por su papel clave en el desarrollo de la teoría matemática de las ondículas (wavelets). Meyer añade este premio, entre otros, al Premio Gauss que consiguió en 2010.

Yves Meyer

Yves Meyer es también conocido por sus contribuciones a la teoría de números y al análisis armónico. Según puede leerse en la nota de prensa oficial,

El trabajo de Meyer tiene una relevancia que va desde las áreas teóricas de las matemáticas hasta el desarrollo de herramientas prácticas de ciencia de la computación y tecnología de la información. Como tal, es un ejemplo perfecto de la pretensión de que el trabajo en matemática pura, frecuente­mente, resulta tener numerosas y amplias aplicaciones en el mundo real.

Meyer ha inspirado a toda una generación de matemáticos que han hecho contribuciones importantes por derecho propio. Su colaborador en la teoría de las ondículas, Stéphane Mallat, lo llama un visionario cuyo trabajo no puede ser etiquetado de matemática pura, ni de matemática aplicada, ni tampoco de informática, sino simplemente de asombroso.

Fuentes y enlaces relacionados:

Esta entrada participa en la Edición 8.2 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza nuestro amigo Rafalillo.

“La maravillosa armonía que esconden los cuadrados mágicos”, nuevo artículo en “El Aleph”

Dom, 03/19/2017 - 10:30

Como todas las semanas desde el verano pasado, el pasado miércoles 15 de marzo publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País. En él hablo sobre cuadrados mágicos.

La maravillosa armonía que esconden los cuadrados mágicos

Lo confieso: soy un enamorado de los cuadrados mágicos. Y lo soy desde siempre, desde la primera vez que vi uno, desde el primer momento en el que tuve la fortuna de conocer la maravillosa armonía que esconden esas cajitas de números aparentemente colocados al azar. Aunque ahora mismo no sabría decir exactamente en qué momento de mi vida se produjo ese primer contacto con los cuadrados mágicos, mi fascinación por estos objetos matemáticos comenzó ahí y, puedo asegurar, continuará hasta el fin de mis días. Espero que con este artículo pueda contagiaros al menos una pequeña parte de este particular amor tanto a los que ya los conocéis como a los que no.

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

“Diez mujeres matemáticas de antes y ahora”, artículo de la semana pasada en “El Aleph”

Vie, 03/17/2017 - 10:30

La pasada semana, concretamente el 8 de marzo, publiqué un nuevo artículo en El Aleph, mi blog de matemáticas en El País. En él hablo sobre mujeres matemáticas de ayer y de hoy, para conmemorar el Día Internacional de la Mujer.

Diez mujeres matemáticas de antes y ahora

A lo largo de la historia, la mujer ha sido marginada y ninguneada tanto en matemáticas como en otras muchas disciplinas por el mero hecho de ser mujer. Centrándonos en matemáticas, esto conlleva que el trabajo realizado por muchas de ellas dentro de esta rama no sea muy conocido por el gran público. Por ello, y aprovechando que hoy 8 de marzo se celebra el Día Internacional de la Mujer, vamos a honrar a todas las mujeres recordando a algunas de las mejores matemáticas de ayer y de hoy.

A pesar de las dificultades que se encontraban las mujeres para dedicarse a las matemáticas, no han sido pocas las que han realizado aportaciones interesantes a esta ciencia. En lo que sigue, vamos a destacar a algunas de ellas mediante una breve reseña bibliográfica.

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

“Bernard Morin, haciendo matemáticas a ciegas”, artículo de hace dos semanas en “El Aleph”

Jue, 03/16/2017 - 10:30

Como he tenido poco tiempo para publicar los últimos artículos que he escrito para El Aleph, mi blog de matemáticas en El País os traigo hoy el que publiqué hace dos semanas, concretamente el 1 de marzo. En él hablo sobre Bernard Morin, matemático ciego especialista en topología.

Bernard Morin, haciendo matemáticas a ciegas

Desde pequeños, la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas están íntimamente ligados a la vista. Aparte de las razones evidentes, una característica muy importante de la enseñanza de las matemáticas es mostrarlas visualmente, y una de las principales partes del aprendizaje en matemáticas es adquirir conocimientos desde la visualización de las mismas.

Por ello, creo que es razonable considerar que es complicadísimo aprender matemáticas sin el sentido de la vista. En realidad, las limitaciones que conlleva no contar con visión hacen que sea muy difícil avanzar en el aprendizaje de cualquier rama, pero quizás con las matemáticas sea más complicado aún.

Os dejo también el enlace a la página de Gaussianos en la que voy recopilando todos los artículos que he publicado en El Aleph, por si os habéis perdido alguno y queréis leerlo. Como sabéis, el día de publicación habitual es el miércoles. Muchas gracias a todos.

¿Quién fue el primero que probó que “la constante del círculo” (Pi) es constante?

Mar, 03/14/2017 - 13:50

Hoy, Día Internacional de Pi, vamos a adentrarnos en un tema que, posiblemente, no nos hayamos planteado lo suficiente: la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es una constante. Es decir: si dividimos la longitud, C, de una circunferencia entre el díametro, d, de la misma, el resultado es siempre el mismo, sea cual sea la circunferencia. Esa constante, como todos sabemos, es nuestro querido y amado número Pi.

Entrada del edificio de matemáticas de la Universidad Técnica de Berlín (TU Berlin)

Lo primero que podríamos plantearnos es si es necesario demostrar este hecho, ya que parece evidente…pero en matemáticas no dejamos nada (o casi nada) sin demostrar, por muy evidente que nos pueda parecer. Es decir, sí, hace falta una demostración.

Después de aclarar esto, hay algunas cuestiones al respecto que sería interesante responder: ¿Quién fue el primero que lo demostró? ¿Cuándo lo hizo? ¿Cómo lo consiguió?. A todo ello nos dedicaremos en el resto de este artículo.

En principio, podríamos pensar que yendo hacia atrás en la historia será sencillo encontrar el momento en el que se demostró este hecho y a su protagonista, ¿verdad? Pues en realidad no parece que sea tan fácil. Y no lo digo yo, sino David Richeson, historiador de las matemáticas (y autor del blog Division by Zero) que nos relata su propia búsqueda histórica en el trabajo Circula reasoning: Who first proved that C/d is a constant?.

Os cuento lo que acabó encontrándo David. La cuestión que nos ocupa se remonta, como no podía ser de otra forma, a los matemáticos de la antigua Grecia. Euclides, en la Proposición XII.2 de sus Elementos, prueba lo siguiente:

Dos círculos son el uno al otro como lo son los cuadrados de sus diámetros.

En notación moderna, sabiendo que con círculo se refiere a área del círculo, esto puede escribirse de la siguiente forma:

\cfrac{A_1}{A_2}=\cfrac{d_1^2}{d_2^2}

Es decir, el valor A/d^2 es el mismo para cualquier círculo, y por tanto también lo es el valor A/r^2.

Euclides podría haber seguido y haber demostrado alguna proposición del tipo “Dos circunferencias son la una a la otra como lo son sus diámetros”…pero no encontramos nada parecido en sus obras.

En este punto es donde entra en juego el segundo protagonista de esta historia: Arquímedes. Este gran matemático griego será el que, más o menos, complete el argumento que por ahora tenemos a medias.

En su trabajo Sobre la medida del círculo, Arquímedes prueba lo siguiente:

El área de un círculo es igual área de un triángulo rectángulo en el que uno de los lados que forman el ángulo recto mide lo mismo que el rádio del círculo y el otro mide lo mismo que la circunferencia del círculo inicial.

En notación actual, tenemos que Arquímedes demostró que lo siguiente se cumple para cualquier círculo (en el trabajo de Richeson que enlacé antes tenéis una demostración de este hecho):

A=\cfrac{1}{2} \; C \cdot r

Aunque parece ser que Arquímedes no da el paso de unir explícitamente estos dos resultados para demostrar que la razón entre la circunferencia y el diámetro es constante, despejando C de esta última igualdad (y sabiendo que d=2r) es sencillo ver que en realidad es así:

\cfrac{C}{d}=\left ( \cfrac{2A}{r} \right ) \cdot \cfrac{1}{d}=\left ( \cfrac{2A}{r} \right ) \cdot \cfrac{1}{2r}=\cfrac{A}{r^2}=constante

Esa constante, que lo es por lo comentado a partir de la Proposición XII.2 de los Elementos, es la que a la postre acabó llamándose \pi.

Quiero agradecer enormemente a @SamuelDalva que me sugiriera escribir sobre esto y que me enviara la información necesaria para ello. Samuel, sin tu ayuda, no habría podido escribir esta entrada.

La imagen que ilustra el artículo la he tomado de aquí.