Todavía no nos habíamos recuperado del posible descubrimiento del primo de Mersenne número 45 cuando nos encontramos otro posible primo de Mersenne, el que haría el número 46 (en el caso de que sea distinto al 45). En la web del proyecto GIMPS podéis ver el aviso.

El proceso de verificación de número 45 se estima que terminará sobre el día 11 de septiembre y el proceso de verificación del 46 ha comenzado ahora. Estaremos atentos.

Por cierto, como habréis podido comprobar desde anoche hasta hace un rato no se ha podido acceder al blog. Ha sido por un cambio de hosting. Esta tarde espero terminar el proceso de actualización completo.

Probamos por medio de la lógica pero descubrimos por medio de la intuición.

Jules Henri Poincaré

INFINITUM. Citas matemáticas

Él parece que acertó, pero ya hemos visto que generalmente hay que tener cuidado.

Sexto y último problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 2008:

Sea un cuadrilátero convexo tal que las longitudes de los lados y son diferentes. Sean y las circunferencias inscritas dentro de los triángulos y respectivamente. Se supone que existe una circunferencia tangente a la prolongación del segmento a continuación de y tangente a la prolongación del segmento a continuación de , la cual también es tangente a las rectas y . Demostrar que el punto de intersección de las tangentes comunes exteriores de y está sobre .

Comencemos planteando uno de los típicos problemas que abundan por internet en el que nos dan una serie de números y nos piden averiguar el siguiente. Ahí va:

Calcular el término siguiente de la siguiente serie:

En principio la respuesta parece evidente, ¿verdad? Pues cuidado.

Supongamos que tenemos una circunferencia y vamos escogiendo puntos de la misma trazando posteriormente todos los posibles segmentos que conectan un par de puntos de los elegidos (exigimos que en ningún caso tres de estos segmentos se corten en un mismo punto, gracias Asier) contando después en cuántas regiones queda dividido el círculo que determina la circunferencia. Si escogemos sólo 1 punto no se pueden trazar segmentos y por tanto tendremos una única región. Si hemos escogido 2 puntos se puede trazar sólo un segmento y por tanto nos quedarán dos regiones. Si tenemos 3 puntos podemos trazar 3 segmentos que dividen al círculo en 4 regiones. Y así sucesivamente.

En el siguiente gráfico se puede ver con más claridad:

Podemos ver en cuántas regiones queda dividido el círculo trazando los segmentos de la manera antes descrita: 2 regiones para dos puntos, 4 regiones para tres, 8 regiones para cuatro y 16 regiones para cincoo (el caso cero, un punto, cero segmento y por tanto una región, no está contemplado en el gráfico pero es evidente).

Volvamos a preguntar: ¿qué número es el siguiente de la serie? Es decir, ¿en cuántas regiones queda dividido un círculo cuando trazamos todos los segmentos posibles que unen pares de puntos entre seis escogidos en una circunferencia? ¿Y si tomamos siete puntos?

Pues el tema parece llevarnos a lo siguiente:

Si llamamos al número de regiones obtenidas con puntos parece ser:

1 punto región
2 puntos regiones
3 puntos regiones
4 puntos regiones
5 puntos regiones

Con lo cual, para seis puntos tendríamos 32 regiones.

Pero la realidad es otra: con seis puntos obtenemos 31 regiones. La sucesión que nos da el número de regiones a partir del número de puntos no es , sino que es la siguiente:

Si la usamos para calcular el número de regiones vemos que va coincidiendo con la serie…hasta que llegamos a seis puntos. Ahí da 31 cuando debería dar 32. Además, conforme aumentamos el número de puntos los valores de las dos sucesiones van distando cada vez más.

Os dejo una tabla con los resultados:

1 1 1 2 2 2 3 4 4 4 8 8 5 16 16 6 31 32 7 57 64 8 99 128

¿Conclusión? Pues como reza el título del post: cuidado con la intuición cuando hablamos de inducción. Además, respecto a la intuición no es la primera vez que avisamos.

Fuente: MENSA, aunque la fórmula de está mal en el enunciado del juego.

Sive, en este comentario, ha dado una demostración informática de que un número de Mersenne con exponente compuesto es también compuesto. En este post voy a dar yo una más matemática.

Definición

Un número de Mersenne es un número de la forma , con .

Teorema

Todo número de Mersenne con compuesto es también compuesto.

Demostración

Si es compuesto se puede descomponer como producto de al menos dos factores mayores que . Supongamos entonces , con 1" />.

Sabemos que . Además . Tomando y en la igualdad anterior se tiene el resultado:

Es decir, tiene al menos dos factores mayores que y, por tanto, es compuesto.

¿Qué pasa si es primo? Pues que sus únicos divisores son y el propio . Por tanto, utilizando la igualdad anterior obtendríamos:

número éste que podría ser primo o no. Por eso sólo puede ser primo si lo es.

El día 23 de agosto el grupo GIMPS recibió el aviso del descubrimiento de un nuevo primo de Mersenne, número que todavía no han hecho público. Los primos de Mersenne (como ya vimos en posible descubrimiento del 44) son los números primos de la forma , con un número primo. El mayor conocido hasta ahora es precisamente el número 44:

Éste rozó los 10 millones de cifras (concretamente 9808358), y se esperaba que el próximo en ser encontrado las superara. Pues tendremos que esperar unos días, al parecer unas dos semanas, para 1) que se verifique que el número encontrado es primo; y 2) en ese caso saber el número de cifras.

En God Plays Dice, sitio donde he visto la noticia, han publicado su predicción sobre el número de cifras y, aunque está ciertamente fundamentada, a mí me parece muy grande. Paso a explicarla:

Según la enciclopedia de las sucesiones, el número de primos de Mersenne hasta el de exponente es aproximadamente , para cierta constante .

En el caso de primo de Mersenne número 44, . Despejando obtenemos . Utilizando ese valor de para el primo de Mersenne número 45 obtendríamos que tiene ¡¡14,5 millones de cifras!!.

Lo que he dicho antes, me parece demasiado.

De todas formas habrá que estar atentos a las noticias sobre el tema en los próximos días.

El descubrimiento de un fragmento de las matemáticas que cuadra con el mundo de una forma nueva es un raro acontecimiento.

Ted Bastin

INFINITUM. Citas matemáticas

Si el LHC ayuda a comprobar la relación entre y una teoría unificadora del universo tendremos otro raro acontecimiento (probablemente el más raro) de los que nos habla Bastin.

Quinto problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 2008:

Sean y enteros positivos tales que ¸ y es par. Se tienen lámparas numeradas cada una de las cuales puede estar encendida o apagada. Inicialmente todas las lámparas están apagadas. Se consideran sucesiones de pasos: en cada paso se selecciona exactamente una lámpara y se cambia su estado (si está apagada se enciende, si está encendida se apaga).
Sea el número de sucesiones de pasos al cabo de los cuales las lámparas quedan todas encendidas y las lámparas quedan todas apagadas.
Sea el número de sucesiones de pasos al cabo de los cuales las lámparas quedan todas encendidas y las lámparas quedan todas apagadas sin haber sido nunca encendidas.
Calcular la razón .

Como sabéis el mes pasado convoqué un concurso para la creación de un logo para Gaussianos. El plazo que di fue hasta el 15 de agosto, es decir, el viernes pasado. Durante este tiempo he recibido varias propuestas, diez concretamente. Os dejo la lista de las personas que han colaborado:

Alpoma
bluff
Sergio
Merfat
Alpha
Piponauta
Jesús
Bootiz
Ever Salazar
Kaito

Algunas de ellas han sido sencillas y otras muy elaboradas. De hecho son varias las que me han gustado. Pero como en todo concurso debe haber un ganador, y en este caso ha sido…

Alejandro Polanco (http://www.alpoma.net)

Su propuesta ha sido la siguiente:

Banner principal

El primer banner tenía el fondo gris y las letras en blanco, pero al final se modificó para que quedara así.

Favicon

En principio la idea es colocar el logo sin el subtítulo de la izquierda. Y ahí es donde volvéis a entrar vosotros. En estos momentos hay tres propuestas para el logo (con texto plano, sombreado y con relieve) y me gustaría que me ayudarais a decidir. Por eso os dejo una encuesta, para que me digáis cuál os gusta más. Aquí os dejo los logos:

Texto plano

Texto sombreado

Texto con relieve

Y aquí la encuesta:

De todas formas quiero comentar que el logo no es 100% definitivo. Podría ser que sufriera alguna modificación o alguna mejora con el tiempo. Os mantendré informados si hay alguna novedad.

Por otra parte, como ya comenté en el post sobre el concurso en principio no tenía pensado ofrecer ningún premio. Aunque puede que cambie de idea. Tengo algo en mente que ni siquiera el ganador sabe. También comentaré algo sobre ello más adelante.

Y para terminar simplemente agradecer a todos los participantes el interés que han mostrado con el tema y el tiempo que han invertido en ello. Siempre respondéis a mis propuestas, y eso es de agradecer. Muchísimas gracias.

Hay una inevitable tristeza en el hecho de haber resuelto el último teorema (de Fermat). Los que se dedican a la teoría de números, en lo más profundo, lo sienten así. Para muchos de nosotros fue la resolución de este problema lo que nos atrajo a las matemáticas, y siempre lo consideramos como un sueño, pero nunca como algo que conseguiríamos. Hoy sentimos que hemos perdido algo.

Andrew Wiles

INFINITUM. Citas matemáticas

Es como la típica historia del policía que persigue al ladrón, terrorista, traficante…poned el delincuente que queráis. Después de media vida persiguiéndolo cuando consigue capturarlo siente un gran vacío. Parece que el perseguidor de alguna manera necesita no alcanzar el objetivo perseguido para que así su vida siga teniendo sentido.

Cuarto problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 2008:

Hallar todas las funciones (es decir, las funciones de los números reales positivos en los números reales positivos) tales que

para todos los números reales que satisfacen .

El teorema de Pick es un resultado geométrico cuanto menos curioso, si no sorprendente. Nos permite calcular de forma muy sencilla el área de un polígono que cumpla ciertas condiciones. Se debe al matemático austriaco Georg Alexander Pick que lo demostró en 1899.

Vamos con el enunciado del teorema:

Teorema: Supongamos que tenemos una cuadrícula en la que cada vértice corresponde a un punto del plano cuyas coordenadas son números enteros y sea un polígono simple (es decir, sin agujeros) que cumple que todos sus vértices están situados sobre vértices de la cuadrícula. Es decir, algo así:

Sea el número de vértices de la cuadrícula que quedan dentro del polígono y sea el número de vértices de la cuadrícula que están en algún lado del polígono, es decir, los puntos frontera que tienen sus dos coordenadas enteras. Entonces el área del polígono puede calcularse de la siguiente forma:

En el ejemplo que aparece en la imagen, y . Por tanto (unidades cuadradas).

Demostración:

Vamos a demostrar este resultado por inducción:

Sea un polígono simple y un triángulo con un lado común con . Asumimos que el teorema es cierto para y para de forma separada y demostremos que también es cierto para el polígono conseguido a partir de añadiendo . Como y comparten un lado, todos los puntos frontera a lo largo del lado común, excepto los puntos extremos del lado, se convierten en puntos interiores de . Por tanto, llamando al número de puntos frontera en común, tenemos que y . De ello obtenemos que y .

Como asumimos que el teorema es cierto para y de forma separada:

Por tanto, el polígono cumple el teorema.

Se sabe que en dos dimensiones cualquier polígono puede ser triangulado. Por tanto, lo que hemos obtenido es que si el teorema es cierto para un triángulo y para un polígono formado por triángulos también lo es para un polígono formado por triángulos.

El último paso de la demostración es comprobar que el resultado es cierto para cualquier triángulo. Veámoslo:

Es fácil ver que el teorema se cumple para cualquier cuadrado de lado 1 (¿de verdad es fácil?). De aquí se deduce que es correcto para cualquier rectángulo con sus lados paralelos a los ejes. A partir de ésto deducimos que la fórmula es cierta para triángulos rectángulos obtenidos a partir de un rectángulo mediante un corte por una de sus diagonales.

Ahora, cualquier triángulo puede convertirse en un rectángulo añadiendo como mucho tres triángulos rectángulos. Como la fórmula es correcta para los triángulos rectángulos y para el rectángulo también lo es para cualquier triángulo.

Con esto concluye la inducción.

Hemos comentando anteriormente que el teorema es válido para polígonos simples, es decir, sin agujeros. Hay una generalización para cualquier polígono en la cual el de la fórmula se sustituye por , es decir, la característica de Euler de .

Por otra parte, una superficie llamada el tetraedro de Reeve (de la cual no he encontrado información) demuestra que el teorema de Pick no se puede generalizar a tres dimensiones. Sin embargo, para dimensiones superiores sí hay una generalización vía polinomios de Ehrhart.

Fuente:

• Pick’s Theorem en la Wikipedia (en inglés)

Omalaled, autor del muy recomendable blog Historias de la Ciencia, se ha animado a sacar un libro cuya temática es la misma que la de su blog.

Hace poco más de un mes nos lo presentaba en este post. Según sus propias palabras:

Se trata de una recopilación revisada de los primeros artículos, aunque incluyendo también modernos, de este blog. Algunos de ellos están igual, tal como se escribieron en su momento, otros los he variado o ampliado y he añadido unas pocas historias inéditas. Algún aliciente tenía que darle, ¿no?

Al parecer de momento sólo puede adquirirse en lulu. Os invito a que os animéis a comprarlo, yo espero hacerlo pronto.

Recordad que no es el único blogger científico que ha sacado un libro. Juán Luis ya lo hizo hace un tiempo, y parece que le cogió el gustillo al asunto.

Hazlo simple, tan simple como sea posible, pero no más.

Albert Einstein

INFINITUM. Citas matemáticas

Ese era uno de los objetivos de Gaussianos. ¿Se ha conseguido?

Tercer problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 2008:

Demostrar que existen infinitos números enteros positivos tales que tiene un divisor primo mayor que .

Este artículo es una colaboración enviada por fede a nuestro mail gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Introducción

La cuadratriz es una curva descubierta por los antiguos matemáticos griegos que resuelve dos de los problemas famosos de la época: la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. No sabemos quienes descubrieron sus propiedades, pero autores antiguos la asocian con Dinóstrato, Nicomedes e Hipias.
En el libro IV de la ‘Colección Matemática’ de Pappus de Alejandría nos ha llegado una demostración de la propiedad de la cuadratriz que permite cuadrar el círculo, que presentamos aquí.

Usamos la notación para expresar ‘ es a como es a ’, en lugar de la notación de igualdad de fracciones, para intentar acercarnos a los conceptos de las antiguas matemáticas griegas.

Generación de la cuadratriz

Supongamos inscrito en el cuadrado un arco de circunferencia con centro . Sea un punto que parte de y se desplaza por el arco a velocidad uniforme. Sea un punto que parte de en el mismo momento que y se desplaza por el segmento a velocidad uniforme y de forma que el tiempo en que recorre es el mismo que el tiempo en que recorre el arco . Entonces, en cada instante, la longitud del segmento es a la longitud del segmento como la longitud del arco es a la longitud del arco , lo que expresamos con la notación . El punto , en que se cortan la perpendicular a por y la recta , describe la curva llamada cuadratriz.

Como con regla y compás podemos bisecar ángulos y obtener el punto medio de segmentos, podemos obtener con regla y compás puntos de la cuadratriz tan cercanos entre sí como queramos.

La división del ángulo

La cuadratriz permite inmediatamente dividir un ángulo en la misma proporción que un segmento y viceversa, es decir, reduce el problema de la división de un ángulo al de la división de un segmento. Se presume que éste fue el uso para el que se inventó en primer lugar la cuadratriz.

Si queremos dividir un ángulo según una razón dada , obtenemos el punto de intersección del ángulo con la cuadratriz, y a continuación el punto con perpendicular a . Obtenemos en un punto de forma que (Elementos VI.9) y a continuación el punto , intersección de la cuadratriz con la perpendicular a por . Por último obtenemos el punto , interseccion de con el arco .
Como por la definición de la cuadratriz y , resulta que , y hemos dividido el ángulo en la razón requerida.

La cuadratura del círculo

Si primero se concibió la cuadratriz para dividir ángulos, quizá fue una sorpresa descubrir que también resolvía el problema de la cuadratura del círculo. Para ello no hace falta la cuadratriz, sino solo el punto de intersección de la cuadratriz con la base . Ese punto no se produce como intersección de las rectas y en la primera figura, porque esas rectas coinciden cuando llegan a , y por tanto tenemos que definirlo como el punto límite al que tienden los puntos de la cuadratriz cuando y se acercan a .

La propiedad del punto que permite rectificar la circunferencia y cuadrar el círculo es que , o, dicho en palabras, la longitud del arco es a la longitud del segmento como la longitud del segmento es a la longitud del segmento .

Ello implica que si es la intersección de la paralela a que pasa por con la prolongación de , la longitud es igual a la longitud del arco (porque ).

Entonces, puesto que el área de un sector circular es la mitad de la longitud del arco por el radio, si es el punto medio de , el área del sector circular es igual al área del rectángulo . Por tanto el área del círculo es 4 veces el área de ese rectángulo.

Y como podemos construir un cuadrado con área igual a un rectángulo dado (Elementos II.14), podemos cuadrar el círculo con regla y compás si nos dan el punto de la cuadratriz en el segmento .

Demostración

A continuación damos la demostración que da Pappus de la propiedad .

En existe un punto tal que .

Con centro y radio trazamos el arco de circunferencia . Entonces , porque las circunferencias son proporcionales a sus radios. Y como también , tenemos que es igual al arco .


Supongamos que el arco tiene un punto distinto de en la cuadratriz (figura de la izquierda). Por definición de la cuadratriz:

Como es igual a y es igual a , resulta que es igual a , lo que es absurdo. Por tanto
no tiene un punto en común con la cuadratriz, salvo quizá . Entonces no puede ser mayor que .
Supongamos ahora que la perpendicular a por tiene un punto distinto de en la cuadratriz (figura de la derecha).

Por definición de la cuadratriz, . Como es igual a y es igual a , resulta que es igual a , lo que es absurdo. Por tanto la perpendicular a por no tiene un punto en común con la cuadratriz, salvo quizá . Entonces no puede ser menor que .
Pero hemos visto que tampoco puede ser mayor, luego el punto es el punto , y entonces . como queríamos demostrar.

Obtener la ecuación de la cuadratriz en coordenadas polares y cartesianas no es difícil. A ver quién se atreve.

Hacía tiempo que no os traía un sumatorio de enlaces. Os los dejo por aquí para que les echéis un ojo:

• Demostración de cómo una pelota rebota infinitas veces en un tiempo finito mandado por Álvaro a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
• Pi is Wrong!: Artículo en el que se defiende que la definición de está mal planteada y que debería definirse el ángulo radianes como una vuelta completa de una circunferencia y no como media vuelta.
• Alan Turing: Gran colección de documentos de Alan Turing y otros pioneros de la computación.
• Reglas de Cálculo: Web dedicada a las calculadoras mecánicas del siglo pasado, con completísima información: historia, teoría, práctica, manuales y muchísimos modelos. Interesantísima. Vía Microsiervos.

Y eso es todo por ahora.

Si toda vez que se identifique el fallo, éste se corrige, el camino del error será el camino de la verdad.

Hans Reichenbach

INFINITUM. Citas matemáticas

Generalmente el problema es, precisamente, identificar el fallo. Y si no que se lo digan a los autores del artículo comentado hace un par de días.

Segundo problema de la Olimpiada Internacional de Matemáticas de 2008:

(a) Demostrar que

(*)

para todos los números reales , distintos de , con .
(b) Demostrar que existen infinitas ternas de números racionales , distintos de , con para los cuales la expresión (*) es una igualdad.

El arXiv es un servicio muy interesante. Y muy útil, como se pudo comprobar hace un par de años con la publicación de la demostración de la conjetura de Poincaré en este servicio, hecho que ayudó enormemente a que se propagara rápidamente. O hace unos días, con la publicación de una supuesta demostración de la hipótesis de Riemann, aunque al final parece que se ha encontrado errores.

Ahí es donde voy, a los errores. Pero no a los errores tipo los cometidos en esta demostración de la hipótesis de Riemann, sino a auténticas barbaridades. Os dejo la conclusión de un artículo publicado en arXiv hace un tiempo:

Therefore it is proven that the cardinality of the real and natural set of numbers are the same, i.e. that

El artículo podeís descargarlo aquí.

O sea, que se demuestra que el cardinal de los números naturales y el de los números reales es el mismo. Una barbaridad, vamos.

¿Dónde está el fallo? Os dejo la respuesta que me mandó Juan Pablo cuando le consulté sobre el tema:

El error que comete es creer que cadenas diferentes de números correspondan a números distintos.

El error está en la sección 2, cuando concluye que tiene Xo^Xo combinaciones, y por lo tanto, el cardinal es c. De acuerdo, se pueden formar esas combinaciones, pero hay demasiadas repeticiones! Por ejemplo: [ 2 ^ (1/2) ] ^ [ 2 ^1] ^ [ (1/2) ^1] = 2 ^ (1/2). Es decir, las potencias se pueden compensar, así que no es cierto que el cardinal de esos números sea c.

Fijate que no prueba en ningún momento ese paso crítico, y sólo dice “A one to one correspondence between such produced set and the set of natural numbers N can be easily obtained by arranging the set elements by the sum of the exponents”… (si es tan simple, que la haga!)

Como podrá ver quien lea el artículo completo es un error, al menos para mí, que no se ve a simple vista. En este caso se veía claramente a la vista de la conclusión que el artículo debía contener errores, pero en otros casos igual no es tan evidente como en éste.

Por todo ello es por lo que esta entrada se titula Cuidado con el arXiv. No quiero que lo que he escrito se interprete como una crítica al servicio, que como ya he dicho me parece muy útil y muy interesante, sino que quiero que se vea como un aviso para que no os fiéis a ciegas de lo que diga cualquier artículo que os encontréis en él.

¿Conocéis algún otro artículo de este tipo? Es decir, ¿algún artículo donde se hayan encontrado errores gordos o errores que lleven a conclusiones tan equivocadas?